Question

【題目】如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點E，過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H．
（1）求證：CD是半圓O的切線；
（2）若DH=6﹣3 ，求EF和半徑OA的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

連接OB，

∵OA=OB=OC，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AB=OC，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∵∠FAD=15°，

∴∠BOF=30°，

∴∠AOF=∠BOF=30°，

∴OF⊥AB，

∵CD∥OF，

∴CD⊥AD，

∵AD∥OC，

∴OC⊥CD，

（2）

解：∵BC∥OA，

∴∠DBC=∠EAO=60°，

∴BD= BC= AB，

∴AE= AD，

∵EF∥DH，

∴△AEF∽△ADH，

∴ ，

∵DH=6﹣3 ，

∴EF=2﹣ ，

∵OF=OA，

∴OE=OA﹣（2﹣ ），

∵∠AOE=30°，

∴ ，

解得：OA=2

【解析】（1）連接OB，根據(jù)已知條件得到△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD，由切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD= BC= AB，推出AE= AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得EF=2﹣ ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接OB構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．