Question

5．如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，交AC于點C，使∠BED=∠C．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AC=8，cos∠BED=$\frac{4}{5}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OC⊥AD，可得∠AOC+∠2=90°，然后根據(jù)∠BED=∠C，證明∠AOC+∠C=90°，據(jù)此即可證得C是圓O的切線；
（2）在直角△AOC中利用三角函數(shù)和勾股定理求得OC和OA的長度，然后利用三角形的面積公式求得AF的長，再根據(jù)垂徑定理求解．

解答 解：（1）AC與圓O相切．證明如下：
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠2=90°
∵∠C=∠BED=∠2，
∴∠AOC+∠C=90°，即∠CAO=90°，
∴AC與⊙O相切；
（2）∵∠BED=∠C，
∴直角△AOC中，cosC=$\frac{AC}{OC}$=os∠BED=$\frac{4}{5}$，
∴OC=$\frac{AC}{cos∠C}$=$\frac{8}{\frac{4}{5}}$=10，
∴AO=$\sqrt{O{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
又∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OA=$\frac{1}{2}$OC•AF，
∴AF=$\frac{AC•OA}{OC}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$．
∵OC⊥AD，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定以及垂徑定理，利用三角形的面積公式求得AF的長是關(guān)鍵．