Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A，點(diǎn)D不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接A1B1、BB1
（1）如圖①，當(dāng)0°＜α＜90°，在α角變化過程中，請證明∠PAA1=∠PBB2 ．

（2）如圖②，直線AA1與直線PB、直線BB1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．設(shè)∠ABP=β，當(dāng)90°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，當(dāng)α=90°時，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合．直線A1B與直線PB相交于點(diǎn)M，直線BB′與AC相交于點(diǎn)Q．若AB= ，設(shè)AP=x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，

∴∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，

∴∠AA1P=∠A1AP= = ，∠BB1P=∠B1BP= = ，

∴∠PAA1=∠PBB1

（2）解：假設(shè)在α角變化的過程中，存在△BEF與△AEP全等，

∵△BEF與△AEP全等，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠BAE=β，

∵AP=A1P，

∴∠A1AP=∠AA1P= ，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°，

∴β+ =45°，

∴α﹣2β=90°

（3）解：當(dāng)α=90°時，

∵AP=A1P，BP=B1P，∠APA1=∠BPB2=90°，

∴∠A=∠PBB1=45°，

∵∠A=∠C，∠AQB=∠C+∠QBC=45°+∠QBC=∠PBC，

∴△ABQ∽△CPB，

∴ ，

∵AB= ，

∴ ，

∴y=

【解析】（1）將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，求∠PAA1=∠PBB2；（2）在α角變化的過程中，存在△BEF與△AEP全等，得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出α﹣2β的值；（3）當(dāng)α=90°時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABQ∽△CPB，求出比例，得到AB的值，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式才能正確解答此題．