Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個(gè)平面圖形，折痕EF不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（E、F是該矩形邊界上的點(diǎn)），折疊后點(diǎn)A落在A′處，給出以下判斷：
①當(dāng)四邊形A^，CDF為正方形時(shí)，EF=
②當(dāng)EF=時(shí)，四邊形A′CDF為正方形
③當(dāng)EF=時(shí)，四邊形BA′CD為等腰梯形；
④當(dāng)四邊形BA′CD為等腰梯形時(shí)，EF=。

其中正確的是       （把所有正確結(jié)論序號(hào)都填在橫線上）。

Answer 1

①③④。

根據(jù)相關(guān)知識(shí)逐一作出判斷：
①∵AB=1，BC=2，∴如圖，

當(dāng)四邊形A′CDF為正方形時(shí)，A′C="CD=" A′F=2，A′F⊥BC。
∴A′E=2。∴根據(jù)勾股定理得EF=。判斷①正確。
②當(dāng)EF=時(shí)，由①知，只要EF與AB成45⁰角即可，此時(shí)的EF與①中的EF平行即可，這時(shí)，除①的情況外，其它都不構(gòu)成正方形。判斷①錯(cuò)誤。
③當(dāng)EF=時(shí)，由勾股定理知BD=，∴此時(shí)，EF與BD重合。
由折疊對(duì)稱和矩形的性質(zhì)知，CD="AB=" A′B，且CD與 A′B不平行。
如圖，

過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)FH，則
∵A′B=CD，∠A′BG=∠ABD=∠CDH，∠A′GB =∠CND，
∴△A′GB≌△CHD（AAS）�！郃′G=CH�！郃′C∥BD。
∴四邊形BA′CD為等腰梯形。判斷③正確。
④當(dāng)四邊形BA′CD為等腰梯形時(shí)，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，即A′是點(diǎn)A沿BD折疊得到，所以，EF與BD重合，EF=BD=。判斷④正確。
綜上所述，判斷正確的是①③④。