Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn).
（1）線段AF與BE有何關(guān)系？說(shuō)明理由；
（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）AF=BE且AF⊥BE．
證明：∵E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，
∴AE=AD，DF=CD
∴AE=DF
又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD
∴△ABE≌△DAF
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD
∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠AGE=90°
∴AF⊥BE
（2）連接CG．

∵DF=CF，∠D=∠FCH=90°，∠AFD=∠HFC
∴△ADF≌△HCF
∴BC=AD=CH=CD，
在直角△BGH中，BC=CH，
∴GC=BH
∴CB=CG=CD=CH，
∴B，G，D，H在以C為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的圓上．

（1）證明△ABE≌△DAF，證據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明AF相等且互相垂直；
（2）證明△ADF≌△HCF，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得B，C，D，H四點(diǎn)到C的距離相等，即可證得四點(diǎn)共圓．