Question

【題目】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：

甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形．

乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖，是正三角形，，證明六邊形的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形．

丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是時(shí)，它是正多邊形，我想…，邊數(shù)是時(shí)，它可能也是正多邊形．

請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；

請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形（如圖）是正七邊形；（不必寫(xiě)已知，求證）

根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

【答案】圖中六邊形各角相等；見(jiàn)解析；猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（或當(dāng)邊數(shù)是，，，，時(shí)），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

【解析】

(1)利用等弧對(duì)等角證各角相等.(2)利用等弧對(duì)等弦證各邊相等.(3)根據(jù)(1)(2)猜想當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.

(1)證明：由圖知∠AFC對(duì).
因?yàn)?/span>，∠DAF對(duì)的，
所以∠AFC=∠DAF.
因?yàn)?/span>，，
所以.
∠ECF對(duì)的，
所以∠AFC=∠ECF.
同理可證∠ADB=∠DBE=∠BEC=∠ECF.
所以圖(1)中六邊形各角相等.
(2)證明：因?yàn)椤螦對(duì)，∠B對(duì)，∠A=∠B，
所以.
所以.
同理.
所以AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA.
所以，七邊形ABCDEFG是正七邊形.
(3)根據(jù)(1)(2)可以猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)為3，5，7，9，…時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.