Question

如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足

a+1

+(a+b+3)2=0，?ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線y=

k

x

經過C、D兩點．
（1）求k的值；
（2）點P在雙曲線y=

k

x

上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；
（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時，

MN

HT

的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

（1）∵

a+1

+（a+b+3）2=0，且

a+1

≥0，（a+b+3）²≥0，
∴

a+1=0 a+b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∵E為AD中點，
∴x_D=1，
設D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t-2），
∴t=2t-4，
∴t=4，
∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，
∴反比例函數的解析式為y=

4

x

，
∵點P在雙曲線y=

k

x

上，點Q在y軸上，
∴設Q（0，y），P（x，

4

x

），
①當AB為邊時：
如圖1所示：若ABPQ為平行四邊形，則

-1+x

2

=0，解得x=1，此時P₁（1，4），Q₁（0，6）；
如圖2所示；若ABQP為平行四邊形，則

-1

2

=

x

2

，解得x=-1，此時P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；
②如圖3所示；當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴

-1

2

=

x

2

，解得x=-1，
∴P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；
故P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；

（3）連NH、NT、NF，
∵MN是線段HT的垂直平分線，
∴NT=NH，
∵四邊形AFBH是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN與△BHN中，
∵

BF=BH ∠ABF=∠ABH BN=BN

，
∴△BFN≌△BHN，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四邊形ATNH內角和為360°，
所以∠TNH=360°-180°-90°=90°．
∴MN=

1

2

HT，
∴

MN

HT

=

1

2

．