【題目】在學(xué)習(xí)《圓》這一單元時,我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論:圓內(nèi)接四邊形的對角互補;事實上,它的逆命題:對角互補的四邊形的四個頂點共圓,也是一個真命題.在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合題中經(jīng)常會出現(xiàn)對角互補的四邊形,那么,我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”,然后借助圓的相關(guān)知識來解決問題,例如:

已知:是等邊三角形,點內(nèi)一點,連接,將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,,并延長于點.當(dāng)點在如圖所示的位置時:

1)觀察填空:

①與全等的三角形是________

的度數(shù)為       

2)利用題干中的結(jié)論,證明:,,四點共圓;

3)直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.____________________

【答案】1)①:②;(2)見解析;(3

【解析】

1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可證△ACD≌△BCE;

根據(jù)已推導(dǎo)出的全等三角形和三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化,可得∠AFB的大。

2)根據(jù)△ACD≌△BCE,推導(dǎo)得出四邊形CDFE,從而證共圓;

3)先推導(dǎo)出△BDF是等邊三角形,可證△ABD≌△CBP,得出AD=FC,從而得出數(shù)量關(guān)系.

1①∵△ABC是等邊三角形

AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∵將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段

CE=CD,∠DCE=60°

∴△DCE是等邊三角形

∴∠DCE=60°

∵∠ACD+DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°

∴∠ACD=BCE

∴△ACD≌△BCE(SAS)

②∵ACD≌△BCE

∴∠EBC=∠DAC

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°

∴∠FBC+∠BAD=60°

∴∠AFB=180°-∠ABC∠FBC∠BAF=180°60°60°=60°

2

,

,

,,四點共圓;

(證明不唯一)

3)結(jié)論:,如下圖,連接BD

∵△ACD≌△BCE

∴∠CBE=∠CAD,AD=BE

∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠FBC=60°

∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°

∵∠AFB=60°

∴△BDF是等邊三角形

DF=BF,∴FD+FE=BE

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴AD=FC

FD+FE=FC

練習(xí)冊系列答案
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下面是小李探究的過程,請補充完整:

1)函數(shù)的自變量的取值范圍是______;

2)下表是的幾組對應(yīng)值:

0

2

3

4

5

0

5

3

2

的值為_______;

3)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,根據(jù)描出的點,請補全此函數(shù)的圖象;

4)觀察圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)_______;

5)若函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方,直接寫出的取值范圍_______

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根據(jù)以上統(tǒng)計圖,解答下列問題:

1)本次接受調(diào)查的市民共有_________人;

2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形的圓心角度數(shù)是__________;

3)請補全條形統(tǒng)計圖;

4)若該市約有90萬人,請估計贊同“選育無絮楊品種,并推廣種植”的人數(shù).

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1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;

2)觀察圖象,直接寫出當(dāng)x滿足什么范圍時,直線AB在雙曲線的下方;

3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說明理由;如果存在,求出滿足條件的所有點C的坐標(biāo).

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【題目】如圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合,三角板的一邊交于點,另一邊交的延長線于點

1)求證:

2)如圖2,將三角板繞點旋轉(zhuǎn),當(dāng)時,連接于點求證:;

3)如圖3,將正方形改為矩形,且將三角板的直角頂點放于對角線(不與端點重合)上,使三角板的一邊經(jīng)過點,另一邊交于點,若,求的值.

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請根據(jù)所給信息,解答下列問題:

(1)第天,這一路口的行人交通違章次數(shù)是多少次?這天中,行人交通違章次的有多少天?

(2)請把圖2中的頻數(shù)直方圖補充完整;(溫馨提示:請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上)

(3)通過宣傳教育后,行人的交通違章次數(shù)明顯減少.經(jīng)對這一路口的再次調(diào)查發(fā)現(xiàn),平均每天的行人交通違章次數(shù)比第一次調(diào)查時減少了次,求通過宣傳教育后,這一路口平均每天還出現(xiàn)多少次行人的交通違章?

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