Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B （4，0）、D （5，3），設(shè)它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且△ABD的面積是3．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）求∠ADB的正切值；

（3）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，直線CD交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P在射線AD上，當(dāng)△APE與△ABD相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．

【解析】

（1）先根據(jù)的面積求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先根據(jù)的坐標(biāo)求出的值，再過(guò)點(diǎn)B作于E，可求出的值，從而可得的正切值；

（3）根據(jù)的坐標(biāo)分別求出直線的解析式，再分和兩種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，然后利用平行線的性質(zhì)和解直角三角形求解即可.

（1）設(shè)

，AB邊上的高為3

則由的面積是3可得：

解得

設(shè)拋物線解析式為

將代入得：，解得

故該拋物線的表達(dá)式為；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F

則

過(guò)點(diǎn)B作于E

在等腰中，

則

故的正切值為；

（3）如圖2，設(shè)直線AD解析式為

將代入得，解得

則直線AD解析式為

同理，由可得直線BD解析式為

由可得直線CD解析式為

當(dāng)時(shí)，，解得

①若，則

則可設(shè)PE所在直線解析式為

將點(diǎn)代入得，解得

則直線PE解析式為

由，解得

故此時(shí)點(diǎn)

②若，則

過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G

由直線AD的解析式可設(shè)P的坐標(biāo)為

則

，解得

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.