(2012•松江區(qū)一模)已知:如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的中線,點(diǎn)E在線段BD上,且BE=ED,過點(diǎn)B作BF∥AC,交線段AE的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:AC=3BF;
(2)如果AE=
3
ED,求證:AD•AE=AC•BE.
分析:(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理由BF∥AC得BF:AC=BE:EC,再利用BD=CD,BE=DE,得CE=3BE,于是即可得到結(jié)論;
(2)由AE=
3
ED得AE2=3ED2,把CE=3ED代入得AE2=CE•ED,即AE:ED=CE:AE,根據(jù)相似三角形的判定易得△AED∽△CEA,則AD:AC=ED:AE,用EB代替ED即可得到結(jié)論.
解答:證明:(1)∵BF∥AC,
∴BF:AC=BE:EC,
又∵BD=CD,BE=DE,
∴CE=3BE,
∴AC=3BF;
(2)∵AE=
3
ED,
∴AE2=3ED2
又∵CE=3ED,
∴AE2=CE•ED,即AE:ED=CE:AE,
而∠AED=∠CEA,
∴△AED∽△CEA,
∴AD:AC=ED:AE,
又∵ED=BE,
∴AD:AC=BE:AE,
∴AD•AE=AC•BE.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊的比相等,并且這兩組對應(yīng)邊所夾的角也相等,那么這兩個三角形相似;相似三角形的對應(yīng)邊的比相等.也考查了平行線分線段成比例定理.
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