Question

【題目】如圖，已知點A（﹣m，n），B（0，m），且m、n滿足 +（n﹣5）2=0，點C在y軸上，將△ABC沿y軸折疊，使點A落在點D處．
（1）寫出D點坐標(biāo)并求A、D兩點間的距離；
（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度數(shù)；
（3）過點C作QH平行于AB交x軸于點H，點Q在HC的延長線上，AB交x軸于點R，CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，當(dāng)點C在y軸上運動時，∠CPR的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求其度數(shù)；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +（n﹣5）2=0，

∴m+5=0，n﹣5=0，

∴m=﹣5，n=5，

∴A點坐標(biāo)為（5，5），

∵△ABC沿y軸折疊，使點A落在點D處，

∴點D與點A關(guān)于y軸對稱，

∴D點坐標(biāo)為（﹣5，5）；

∴AD=5﹣（﹣5）=10

（2）解：如圖2，∵△ABC沿x軸折疊，使點A落在點D處，

∴∠DCF=∠ACF，

∵∠DCF=∠EFB+∠DEF，

∴∠EFB=∠ACF﹣∠DEF，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF=∠AEF，

∴∠EFB=∠ACF﹣∠AEF=20°

（3）解：∠CPH=45°．理由如下：

如圖3，∵QH∥AB，

∴∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，

∵CP、RP分別平分∠BCQ和∠ARX，

∴∠QCP= ∠BCQ，∠2= ∠ARX，

∴∠1= ∠BCQ，∠2= ∠3，

∵∠BCQ=90°+∠3，

∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，

∵∠1=∠CPR+∠2，

∴∠CPR=45°

【解析】（1）先由非負數(shù)的性質(zhì)求出m，n的值，得到A點坐標(biāo)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點D與點A關(guān)于y軸對稱，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到D點坐標(biāo)，然后計算點A與點D的橫坐標(biāo)之差即可得到A、D兩點間的距離；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性質(zhì)得∠DCF=∠EFB+∠DEF，則∠EFB=∠ACF﹣∠DEF，又∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF﹣∠AEF=20°；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由QH∥AB得到∠QCP=∠1，∠ARX=∠3，再根據(jù)角平分線的定義得∠QCP= ∠BCQ，∠2= ∠ARX，則∠1= ∠BCQ，∠2= ∠3，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BCQ=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根據(jù)∠1=∠CPR+∠2即可得到∠CPR=45°．
【考點精析】通過靈活運用三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角，掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角即可以解答此題．