【題目】1)如圖①OP是∠MON的平分線,點AOM上一點,點BOP上一點.請你利用該圖形在ON上找一點C,使COB≌△AOB,請在圖①畫出圖形.參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:

2)如圖②,在ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BACBCA的平分線,AD、CE相交于點F.請你寫出FEFD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)如圖③,在ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他條件不變,在(2)中所得結(jié)論是否仍然成立?請你直接作出判斷,不必說明理由.

【答案】1畫圖見解析;2DF=EF理由見解析;3DF=EF 仍然成立,理由見解析.

【解析】(1)在∠MON的兩邊上以O為端點截取相等的兩條相等的線段,兩個端點與角平分線上任意一點相連,所構(gòu)成的兩個三角形全等,即△COB≌△AOB;

(2)根據(jù)圖(1)的作法,在CG上截取CG=CD,證得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF;再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE,得EF=FG,故得出EF=FD;

(3)根據(jù)圖(1)的作法,在CG上截取AG=AE,證得△EAF≌△GAF(SAS),得出FE=FG;再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC,得DF=FG,故得出EF=FD.

解:(1)如圖①所示,△COB≌△AOB,點C即為所求.

(2)如圖②,在CG上截取CG=CD,

∵CE是∠BCA的平分線,

∴∠DCF=∠GCF,

在△CFG和△CFD中,

CG=CD,∠DCF=∠GCF,CF=CF,

∴△CFG≌△CFD(SAS),

∴DF=GF.

∵∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,

∴∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,且∠EAF=∠GAF,

∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)==60°,

∴∠AFC=120°,

∴∠CFD=60°=∠CFG,

∴∠AFG=60°,

又∵∠AFE=∠CFD=60°,

∴∠AFE=∠AFG,

在△AFG和△AFE中,

∠AFE=∠AFG,AF=AF,∠EAF=∠GAF,

∴△AFG≌△AFE(ASA),

∴EF=GF,

∴DF=EF;

(3)DF=EF 仍然成立.

證明:如圖③,在CG上截取AG=AE,

同(2)可得△EAF≌△GAF(SAS),

∴FE=FG,∠EFA=∠GFA.

又由題可知,∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,

∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=60°,

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°,

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,

∴∠CFG=∠CFD=60°,

同(2)可得△FDC≌△FGC(ASA),

∴FD=FG,

∴FE=FD.

“點睛”此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的運用,全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具,在判定三角形全等時,關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當輔助線構(gòu)造全等三角形.

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