Question

【題目】（如圖，△ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的 O 與 BC 相交于點 D，與 CA 的延長線相交于點 E，過點 D 作 DF⊥AC 于 F.

(1)求證：DF 是 ⊙O 的切線；

(2)若 AC=3AE,求的值。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)

【解析】

(1)根據(jù)切線的判定，連接OD，證明DF垂直OD，（2）設參數(shù)，根據(jù)題意可證三角形CDE是等腰三角形，根據(jù)攝影定理可以求出AD的長度，進而求的值.

(1)證明：連接 OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF 是 O 的切線；

(2)連接 BE，AD，

∵AB 是直徑，∴∠AEB=90 ，

∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE= =2 AE，∴

∵∠DFC=∠AEB=90 ，∴DF∥BE，∴△DFC∽△BEC，

∴ ，∴DF= FC

∵AB 是直徑，∴AD⊥BC，∴DF2=AF FC，

∴(FC)2=AF FC，∴ FC=AF，∴