Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=30cm，BC=40cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C勻速移動．過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，點(diǎn)M在AB邊上，連接CN．設(shè)點(diǎn)P移動的時(shí)間為t（s）．

（1）PQ=______；（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)N分別滿足下列條件時(shí)，求出相應(yīng)的t的值；①點(diǎn)C，N，M在同一條直線上；②點(diǎn)N落在BC邊上；

（3）當(dāng)△PCN為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）①，②；（3）秒或秒或秒．

【解析】

（1）先求出AB=50，sinA==，cosA==，進(jìn)而求出AQ=3t，PQ=4t，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出PN=QM=PQ=4t，

①求出CD=24，AD=18，進(jìn)而判斷出AQ+QM=AD=18，建立方程即可得出結(jié)論；

②判斷出∠APQ=∠PNC，進(jìn)而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB=50，

∴sinA==，cosA==

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

由運(yùn)動知，AP=5t，

在Rt△AQP中，AQ=APcosA=×5=3t，PQ=APsinA=4t，

故答案為：4t；

（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=QM=PQ=4t，

①如圖1，

由（1）知，AB=50，

過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

∴ABCD=ACBC，

∴CD=24，

在Rt△ADQ中，AD==18，

∵點(diǎn)C，N，M在同一條直線上，

∴點(diǎn)M落在點(diǎn)D，

∴AQ+QM=AD=18，

由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，

∴4t+3t=18，

∴t=；

②點(diǎn)N落在BC上時(shí)，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，

∴∠CPN+∠CNP=90°，

∵∠QPN=90°

∴∠CPN+∠APQ=90°，

∴∠APQ=∠PNC，

∵∠AQP=∠PCN，

∴△AQP∽△PCN，

∴，

∴，

∴t=；

（3）當(dāng)PC=PN時(shí)，30-5t=4t，

∴t=，

當(dāng)PC=NC時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥PN于F，延長CF交AB于D，

∴PF=PN=2t，

∴QD=2t，

根據(jù)勾股定理得，AQ==3t，

∴AD=AQ+QD=5t=18，

∴t=，

當(dāng)PN=NC時(shí)，如圖3，過點(diǎn)N作NG⊥AC于G，

∴PG=PC=，

易知，△PNG∽△APQ，

∴，

∴，

∴t=，

即：當(dāng)△PCN是等腰三角形時(shí)，秒或秒或秒．