Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的邊EF與BC重合，點G、H分別在AC、AB上運動，當(dāng)矩形EFGH的面積最大時，EF的長是（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

Answer 1

【答案】分析：設(shè)HG=x，KD=y，根據(jù)矩形的對邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根據(jù)矩形的面積公式求解并整理，再利用二次函數(shù)的最值問題進行求解即可．
解答：解：如圖，設(shè)HG=x，KD=y，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∵AD是BC邊上的高，
∴AK⊥HG，∠ADF=∠EFG=∠FGK=90°，
∴四邊形DFGK是矩形，
∴KD=GF=y，
∴AK：AD=HG：BC，
∵BC=12，AD=8，
∴，
解得：y=-x+8，
∴矩形EFGH的面積為：xy=x•（-x+8）=-（x-6）²+24，
∴當(dāng)x=6，即HG=6時，內(nèi)接矩形EFGH有最大面積，最大面積是24．
∴EF=GH=6．
故選B．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．注意根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出矩形EFGH的長與寬的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．