Question

在直角坐標系中，正方形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸上，A點的坐標為（O，4）．
（1）將正方形ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°，得正方形ODEF，邊DE交BC于G，求G點坐標．
（2）如圖，⊙O₁與正方形ABCO四邊都相切，直線MQ切⊙O₁于P，分別交y軸、x軸、線段BC于M、N、Q．求證：O₁N平分∠MO₁Q．

Answer 1

分析：（1）利用圖形的旋轉(zhuǎn)前后大小不變，可得出三角形全等．
（2）利用切線長定理可以得出．

解答：（1）解：連OG，OA=OC=4．由Rt△DOG≌Rt△COG，
∴∠DOG=∠COG=30°，∴GC=

3

3

OC=

4 3

3

，∴G（4，

4 3

3

）．

（2）證明：設(shè)⊙O₁切OA、OC、BC分別于E、F、G，連接O₁E、O₁F、O₁G，則E，O₁、G共線．
由切線長定理可證△MEO₁≌△MPO₁，△PO₁Q≌△GO₁Q，
∠EO₁M=∠PO₁M，∠GO₁Q=∠PO₁Q，∴∠MO₁Q=∠EO₁G=90°．
∵AM∥O₁F，
∴∠AMO₁=∠1，
∵△PO₁Q≌△GO₁Q，
∴∠3=∠2，
∵∠O₁MN+∠1+∠4=90°，
∠O₁MN=∠1，
∴2∠1+∠4=90°，
∵∠2+∠3+∠4=90°，∠2=∠3，
∴2∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠AMO₁=∠1=∠2，∠PO₁N=∠FO₁N，
∴∠MO₁N=∠QO₁N，O₁N平分∠MO₁Q．

點評：此題考查了切線長定理以及旋轉(zhuǎn)圖形前后全等，題目比較典型，同學(xué)們應(yīng)細心完成．