Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C（1，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）觀察圖象，寫(xiě)出不等式ax2+bx+c＞﹣x+3的解集為　 　；

（3）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），在直線y＝﹣x+3上有一點(diǎn)P，使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）x＜0或x＞3；（3）P1（﹣1，4），P2（1，2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意首先利用交點(diǎn)式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進(jìn)而得出a的值即可；

（2）由題意直接利用函數(shù)圖象得出ax2+bx+c＞﹣x+3的解集即為交點(diǎn)兩側(cè)兩圖象在上面的則對(duì)應(yīng)函數(shù)值大，否則就小，進(jìn)而得出答案；

（3）根據(jù)題意分析①若△ABO∽△AP1D，②若△ABO∽△ADP2，進(jìn)而分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C（1，0）三點(diǎn)，

∴設(shè)y＝a（x﹣1）（x﹣3），（a≠0），

∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），

∴利用圖象可得出：不等式ax2+bx+c＞﹣x+3的解集為：x＜0或x＞3；

故答案為：x＜0或x＞3；

（3）由題意得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示：

①若△ABO∽△AP1D，

則＝，

∴DP1＝AD＝4，

∴P1（﹣1，4）；

②若△ABO∽△ADP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于點(diǎn)M，AD＝4，

∵△ABO為等腰直角三角形，

∴△ADP2是等腰直角三角形，由三線合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，

∴MO＝1，

∴P2（1，2）．