Question

【題目】邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接DE，交AC于點N，過點D作DF⊥DE，交BA的延長線于點F，連接EF，交AC于點M．

（1）判定△DFE的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)CE=x，△AMF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)x為何值時y有最大值？最大值是多少？

（3）隨著點E在BC邊上運動，NA·MC的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出NA·MC的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，見解析；（2）y =﹣x2+ x，當(dāng)x=2，y有最大值1；（3）不變，16

【解析】

（1）先判斷出∠FDA=∠CDE，證得△ADF≌△CDE，即可得出結(jié)論；

（2）利用平行線分線段成比例定理得出比例式表示出AF邊上的高，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△FAM≌△EIM，得出ME=FM，再判斷出△AND∽△CDM，即可得出結(jié)論．

（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DAB =90°，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，

，
∴△ADF≌△CDE，

∴DE =DF，

∴△DFE為等腰直角三角形；

(2)過M作MG⊥AB于G，

設(shè)MG=h，

又∵∠GAM =45°，

∴AG =MG=h，由(1)知FA=CE =，

∵CB⊥AB，

∴MG//BC，

∴=，即=，

∴h=，

∴y =·= （）；

，

∵，

∴當(dāng) ，有最大值1；

（3）不變，如圖3，過點E作EI∥AB交AC于I，連接DM，

∴∠EIC=∠ICE=45°，
∴EI=EC=AF，
∵EI∥AB，
∴∠FAM=∠MIE，∠MFA=∠IEM，
∴△FAM≌△EIM，
∴ME=FM，
由（1）可得，△FDE是等腰直角三角形，
∴DM⊥EF，
∴∠MDE=45°，∠MDC=45°+∠CDN=∠DNA，
∵∠DAN=∠DCM=45°，
∴△AND∽△CDM，

∴，

∴ANCM=ADCD=16．