Question

【題目】閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．

結(jié)論：在≥（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a+b有最小值．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

若m＞0，只有當(dāng)m＝ 時(shí)，有最小值 ．

思考驗(yàn)證：如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，AD＝a，DB＝b．

試根據(jù)圖形驗(yàn)證≥，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件．

探索應(yīng)用：如圖2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

【答案】閱讀理解：1；2；思考驗(yàn)證：證明見(jiàn)解析；當(dāng)CD等于半徑時(shí)，等號(hào)成立；探索應(yīng)用：24；菱形．

【解析】

閱讀理解：讀懂題意即可得到結(jié)果；

思考驗(yàn)證：先證Rt△CAD∽Rt△BCD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊乘比例即可表示出CD，分兩種情況討論：

若點(diǎn)D與O不重合，連OC，在Rt△OCD中，；若點(diǎn)D與O重合，

綜上所述，，當(dāng)CD等于半徑時(shí)，等號(hào)成立.

探索應(yīng)用：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可表示出CA、DB，從而得到四邊形ABCD面積的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征即可得到結(jié)果．

解：（1）∵a+b≥（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2，只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2．
∴，

∴，
當(dāng)m=時(shí)，

解得：m=1或-1（不合題意舍去），

故當(dāng)m=1（填不扣分），最小值是2；

故答案為：1；2；

思考驗(yàn)證：∵AB是的直徑，

∴AC⊥BC

又∵CD⊥AB

∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B

∴Rt△CAD∽Rt△BCD, CD2=AD·DB, ∴CD=　　

若點(diǎn)D與O不重合，連OC，在Rt△OCD中，

∵OC>CD,

∴，

若點(diǎn)D與O重合時(shí)，OC=CD，∴　

綜上所述，，即，當(dāng)CD等于半徑時(shí)，等號(hào)成立.

探索應(yīng)用：設(shè),　則,，

，化簡(jiǎn)得：

，只有當(dāng)，

即時(shí)，等號(hào)成立

∴S≥2×6＋12＝24，

∴S四邊形ABCD有最小值24.

此時(shí)，P(3，4)，C(3，0)，D(0，4)，AB=BC=CD=DA=5

∴四邊形ABCD是菱形．