Question

【題目】閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp= ，同理yp= ，所以AB的中點坐標為（，）．由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A、B兩點間的距離公式為AB=．這兩公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．解答下列問題：

（1）已知M（1，﹣2），N（﹣1，2），直接利用公式填空：MN中點坐標為________，MN=________．

（2）如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．

（a）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；

（b）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形；

（c）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離.

Answer 1

【答案】（1）（0，0）；2；（2）（a）A（ ，3﹣ ）；B（ ，3+ ）； C（ ， ）；（b）證明見解析；（c）.

【解析】

（1）根據(jù)中點坐標公式，兩點間的距離公式，可得答案；
（a）根據(jù)解方程組，可得A，B點坐標，根據(jù)中點坐標公式，可得P點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線橫坐標相等，可得C點橫坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得C點坐標；
（b）根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根據(jù)三角形的面積不同表示，可得關于CD的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

（1）（0，0）；2

（2）解：（a）聯(lián)立直線、拋物線，得 ，

解得 ， ，

即B（ ，3+ ），A（ ，3﹣ ）．

由P是AB的中點，得

P（ ，3）

當x= 時，y=2x2= ，即C點坐標為（ ， ）．

（b）AB2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣3+ ）2=25；

BC2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣ ）2= ﹣5 ；

AC2=（ ﹣ ）2+（3﹣ ﹣ ）2= +5 ，

∵AC2+BC2=AB2 ，

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形；

（c）如圖

作CD⊥AB于D點，CD 是兩直線間的距離，

S△ABC= ABCD= ACBC，

×5CD= × ，

解得CD= ．

兩直線l與l′的距離是