Question

先觀察下列等式，再完成題后問題：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

（1）請你猜想：

1

2010×2011

=

 

．
（2）若a、b為有理數(shù)，且|a-1|+（ab-2）²=0，求：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2009)(b+2009)

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù) 

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…則

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
（2）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，代入原式變形為 1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

是解題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

（2分）

（2）∵|a-1|+（ab-2）²=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2（2分）
原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

（2分）
=

2010

2011

．（1分）

點評：考查了有理數(shù)的混合運算，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵規(guī)律為

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．