Question

【題目】如圖，在ABCD中，E是CD的中點，AE是延長線交BC的延長線于F，分別連接AC，DF，解答下列問題：
（1）求證：△ADE≌△FCE；
（2）若DC平分∠ADF，試確定四邊形ACFD是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，

又∵E是DC的中點，

∴DE=CE，

在△ADE和△FCE中， ，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）解：若DC平分∠ADF，則四邊形ACFD是菱形；理由如下：

∵△ADE≌△FCE，

∴AD=CF，

又∵AD∥CF，

∴四邊形ACFD是平行四邊形，

∵DC平分∠ADF，

∴∠ADC=∠CDF，

∴∠FCD=∠CDF，

∴DF=CF，

∴四邊形ACFD是菱形

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)，易得∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，AE=CE，繼而證得：△ADE≌△FCE．（2）由第（1）問中△ADE≌△FCE，易得AD=CF，又由AD∥CF，即可證得四邊形ACFD是平行四邊形，再證出DF=CF，即可得出結(jié)論．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)．