Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，如果a=-1，試求b的值；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長(zhǎng)為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式； 
（3）將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．試求當(dāng)n=3時(shí)a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，正方形的邊為1，故此拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，拋物線的對(duì)稱軸方程可求得b=1；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，正方形的邊為2，故此拋物線的對(duì)稱軸為x=1，由點(diǎn)B與C對(duì)稱，點(diǎn)M與點(diǎn)N對(duì)稱可求得B（2，1）和點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，2），將點(diǎn)B、M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，從而可求得a、b的值；
（3）當(dāng)n=3時(shí)，可知矩形的邊長(zhǎng)OC=AB=1，OA=CB=3，根據(jù)勾股定理可求得OB=$\sqrt{10}$，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{10}$，0），過(guò)C作CD⊥OB于點(diǎn)D．則Rt△OCD∽R(shí)t△CBD，然后由相似三角形的性質(zhì)可求得OD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$、CD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx，將點(diǎn)C、B的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，從而可求得a的值．

解答 解：（1）∵正方形的邊為1，
∴C（0，1）、B（1，1）．
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{-1×2}$=$\frac{1}{2}$，得b=1．
（2）設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx+1，
由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1）和點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=1}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+1=2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$．
∴所求拋物線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+1．
（3）當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為y=ax²+bx，
如圖所示：過(guò)C作CD⊥OB于點(diǎn)D．

∵在Rt△OCB中，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴B（$\sqrt{10}$，0）．
∵∠COD=∠COB，∠CDO=∠OCB=90°，
∴△OCD∽△CBD．
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OC}{OB}=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{OD}{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{DC}{3}$．
∴OD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，DC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴C（$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）．
把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式得$\left\{\begin{array}{l}{10a+\sqrt{10}b=0}\\{\frac{1}{10}a+\frac{\sqrt{10}}{10}b=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$．
解得：a=-$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，由拋物線的對(duì)稱性以及正方形、長(zhǎng)方形的對(duì)稱性確定出拋物線的對(duì)稱軸方程以及點(diǎn)M和點(diǎn)B的坐標(biāo)是解決問(wèn)題（1）、（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OD、CD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)是解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．