Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．如果x₁+x₂=1，x₁•x₂=-6，且△ABC的面積為．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．
（2）如果P是線(xiàn)段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)y=m（m為常數(shù)），與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)Q，則在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得以PQ為一腰的△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A，B的坐標(biāo)，易求出三角形ABC的面積以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．易求解析式．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)R，直線(xiàn)y=m與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，根據(jù)△PQR為等腰直角三角形列式求解即可．
解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線(xiàn)的解析式是y=-x²+x+3．

（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)R，并設(shè)直線(xiàn)y=m與y軸的交點(diǎn)為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴點(diǎn)E（0，m）不與點(diǎn)O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形PQR的一腰，
過(guò)點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-=m，
解得m=．
∴P（x_P，），Q（x_Q，），
點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上，
解得x_P=-，P（-，）．
∴點(diǎn)R₁（-，0）．
過(guò)點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于R₂，
同理可求得x_Q=，Q（ ，）．
∴點(diǎn)R₂（ ，0）．驗(yàn)證成立，
∴R₁（-，0）、R₂（ ，0）是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度較大，要利用大量的輔助線(xiàn)的幫助，注意各部分知識(shí)的綜合應(yīng)用，并注意總結(jié)積累這些綜合題的解題思路．