Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，點M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．
（1）求證：DE⊥DM；
（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中， ，

∴△DCE≌△MDA（SAS），

∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠MDA=90°，

∴DE⊥DM

（2）解：四邊形CENF是平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵BF=AM，

∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，

即MF=CD，

又∵F在AB上，點M在BA的延長線上，

∴MF∥CD，

∴四邊形CFMD是平行四邊形，

∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，

∴四邊形DENM都是矩形，

∴EN=DM，EN∥DM，

∴CF=EN，CF∥EN，

∴四邊形CENF為平行四邊形

【解析】（1）利用角邊角可得△DCE≌△MDA，那么可得DE=DM，∠EDC=∠MDA，進(jìn)而根據(jù)∠ADC=90°可得DE⊥DM；（2）先證明四邊形CFMD是平行四邊形，得出DM=CF，DM∥CF，再證明四邊形DENM都是矩形，得出EN=DM，EN∥DM，得出CF=EN，CF∥EN，即可得出結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．