Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．直線y=kx+b與拋物線y=mx2﹣x+n同時(shí)經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值．
（2）點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，（點(diǎn)M在AB下方），過(guò)M作MN⊥x軸，與AB交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線y=mx2﹣x+n經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（4，0），
∴，
解得．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣x+3．
（2）∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（4，0），則，
解得．
∴經(jīng)過(guò)AB兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+3．
MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∵0≤x≤4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，MN取得最大值為4．
（3）存在．
①當(dāng)ON⊥AB時(shí)，（如圖1）
可證：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△OQN．
∴
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵ONAB=OAOB，
∴ON=，
∴NQ=，OQ=．
∴N（，）；
②當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，（如圖2）
∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，
∴△AOB∽∽△NQO．此時(shí)N（2，）．
∴滿足條件的N（，）或N（2，）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線y=mx2﹣x+n經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（4，0），將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可得出m，n的值；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可求經(jīng)過(guò)AB兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式，得到MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，從而求解；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)ON⊥AB 時(shí)，②當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，依次求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．