Question

【題目】問題情境：如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC邊上的一個動點（點E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．猜想線段BE，AD之間的關(guān)系．

（1）獨立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的數(shù)量關(guān)系：

（2）合作交流：城南中學(xué)八年級某學(xué)習(xí)小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點H，交AD于點O．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．

（3）拓展延伸：圖（1）中AD和BE存在著怎樣的位置關(guān)系？在等腰直角△ECD繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中AD和BE的這種位置關(guān)系是否會變化？請結(jié)合圖（2）說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD；（2）仍成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】

（1）先利用邊角邊定理證明△BCE和△ACD全等，于是對應(yīng)邊BE=CD；（2）結(jié)論仍然成立，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS定理證明△ACD≌△BCE，得對應(yīng)邊BE=AD；（3）因為△BCE≌△ACD，對應(yīng)角∠CEB和∠CDA相等，再由同角的余角相等，可得BE⊥AD；由△BCE和△ACD全等得∠CBE=∠CAD，而∠BMC和∠AMP是對頂角，結(jié)合三角形內(nèi)角和可得∠APM=90°，則BE⊥AD．

（1）解：如圖(1)BE=AD，

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90 ，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD；

（2）不變化，理由如下：

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=DE，∠BCA=∠ECD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，

（3）如圖，

成立，理由如下：

由（1）知，△BCE≌△ACD，

∴∠CEB=∠CDA，

∵∠CBE+∠CEB=90°，

∴∠CBE+∠CDA=90°，

∴BE⊥AD，

由（2）得，∵△BCE≌△ACD，

∴∠CBE=∠CAD，

∠BMC=∠AMP，

∵∠APM=∠BCM=90°，

即BE⊥AD.