Question

小剛為書(shū)房買燈．現(xiàn)有兩種燈可供選購(gòu)，其中一種是9瓦(即0.009千瓦)的節(jié)能燈，售價(jià)49元/盞；另一種是40瓦(即0.04千瓦)的白熾燈，售價(jià)18元/盞．假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)，并已知小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦時(shí)0.5元．

(1)設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和用一盞白熾燈的費(fèi)用；(注：費(fèi)用＝燈的售價(jià)＋電費(fèi))

(2)小剛想在這兩種燈中選購(gòu)一盞．

①當(dāng)照明時(shí)間是多少時(shí)，使用兩種燈的費(fèi)用一樣多？

②試用特殊值判斷：

照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低？

照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低？

(3)小剛想在這兩種燈中選購(gòu)兩盞．

假定照明時(shí)間3000小時(shí)，使用壽命就是2800小時(shí)．請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一種費(fèi)用最低的選燈方案，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是(49＋0.0045x)元，用一盞白熾燈的費(fèi)用是(18＋0.02x)元． 　　(2)①由題意，得49＋0.0045x＝18＋0.02x，解得x＝2000，所以當(dāng)照明時(shí)間是2000小時(shí)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用一樣多． 　�、谌√厥庵祒＝1500小時(shí)，則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49＋0.0045×1500＝55.75(元)．用一盞白熾燈的費(fèi)用是18＋0.03×1500＝48(元)，所以當(dāng)照明時(shí)間小于2000小時(shí)時(shí)，選用白熾燈費(fèi)用低；取特殊值x＝2500小時(shí)，則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49＋0.0045×2500＝60.25(元)，用一盞白熾燈的費(fèi)用是18＋0.02×2500＝68(元)，所以當(dāng)照明時(shí)間超過(guò)2000小時(shí)時(shí)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低． 　　(3)分下列三種情況討論： 　　①如果選用兩盞節(jié)能燈，則費(fèi)用是98＋0.0045×3000＝111.5元；②如果選用兩盞白熾燈，則費(fèi)用是36＋0.02×300＝96(元)； 　　③如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當(dāng)照明時(shí)間大于2000小時(shí)時(shí)，用節(jié)能燈比白熾燈費(fèi)用低，所以節(jié)能燈用足2800小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低．費(fèi)用是67＋0.0045×2800＋0.02×200＝83.6(元)； 　　綜上所述，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時(shí)，白熾燈使用200小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低． 　　剖析：這是一道決策性的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題，決不能囿于并不熟悉的實(shí)際背景，而應(yīng)撇開(kāi)現(xiàn)象的東西，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題．因此構(gòu)建函數(shù)模型，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．

提示：

建立函數(shù)模型是解決有關(guān)“決策型”應(yīng)用題的最常用、最重要的數(shù)學(xué)思想方法．在建立函數(shù)關(guān)系后，往往要進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系確定自變量的取值范圍，從而為決策提供依據(jù)．