Question

【題目】已知：如圖1，△ABC中，AB=6，AC=，BC=3，過邊AC上的動點E（點E不與點A、C重合）作EF⊥AB于點F，將△AEF沿EF所在的直線折疊得到△A'EF，設CE=x，折疊后的△A'EF與四邊形BCEF重疊部分的面積記為S．

（1）如圖2，當點A'與頂點B重合時，求AE的長；

（2）如圖3，當點A'落在△ABC的外部時，A'E與BC相交于點D，求證：△A'BD是等腰三角形；

（3）試用含x的式子表示S，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先證明∠A=30°，在Rt△AEF中，解直角三角形即可解決問題；
（2）想辦法證明∠A′=∠A′DB=30°，可得BD=BA′；
（3）分兩種情形分別求解，①如圖3中，當0＜x≤時，重疊部分是四邊形EFBD．②如圖1中，＜x＜3時，重疊部分是△EFA′；

（1）如圖2中，

∵AC2+BC2=（3）2+32=36，AB2=36，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

當點A'與頂點B重合時，AF=FB=3，

cosA=，

∴∠A=30°，

∴AE=．

（2）如圖3中，

由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，

∴∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，

∴∠A′=∠A′DB=30°，

∴BD=BA′，

∴△BDA′是等腰三角形．

（3）①如圖3中，當0＜x≤時，重疊部分是四邊形EFBD，

S=S△EFA′﹣S△BDA′

=（3﹣x）（3﹣x）﹣[（3﹣x）﹣6]× [（3﹣x）﹣6]

=﹣

∴S最大值=

②如圖1中，＜x＜3時，重疊部分是△EFA′，

S=（x﹣3）2，

S最大值=3，

3＜，

∴S的最大值為．