Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+（1-2k）x+k+1的圖象與x軸相交于點(diǎn)O，A兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸的右邊的圖象上有一個(gè)點(diǎn)B1使得銳角三角形AOB的面積等于3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)O，即可求得k的值，即可解題；
（2）易求得該二次函數(shù)的對(duì)稱軸，設(shè)點(diǎn)B（a，b），即可求得b的值，根據(jù)b的值即可求得a的值，即可解題；
（3）設(shè)符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），易得∠AOB=45°，即可求得∠AOP=45°，可得m=-n，將點(diǎn)P代入即可求得m、n的值，即可解題．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+（1-2k）x+k+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)O，
∴將O點(diǎn)代入得：k+1=0，
∴k=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x；
（2）如圖，在拋物線上找到點(diǎn)B，作BA⊥x軸，連接OB．

∵y=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∴對(duì)稱軸是直線x=

3

2

，令y=0，則-x²+3x=0，
∴x₁=-，x₂=3，
∴點(diǎn)A（3，0），
設(shè)點(diǎn)B（a，b），
∴

1

2

×3×|b|=3，
∴b=±2，
當(dāng)b=-2時(shí)，△AOB是鈍角三角形，不符合題意，舍去，
當(dāng)b=2時(shí)，即2=-a²+3a，解得：a₁=1，a₂=2．
∵當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸左邊，不符合題意，舍去，
∴a=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，2）；
（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使∠POB=90°，
設(shè)符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）
∵B的坐標(biāo)為（2，2），∴∠AOB=45°，
∴∠AOP=45°，且點(diǎn)P必在x軸的下方，
∴m=-n，
即-m²+3m=-m，解得：m₁=0，（舍去），m₂=4，
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了三角形面積計(jì)算，考查了一元二次方程的求解，本題中求得點(diǎn)B的值是解題的關(guān)鍵．