Question

【題目】已知如圖，是圓直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為，平行于弦，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，且，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根

證明：是圓的切線；

求線段的長(zhǎng)；

求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；(2)；（3）．

【解析】

（1）如圖由BC是直徑，BE是的切線，得到∠EBO=90°,根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)，得到∠1=∠4，通過(guò)全等三角形證得．
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得AD的長(zhǎng)，由切割線定理求出AB的長(zhǎng)，得到圓的直徑，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，
（3）則中，即可求得∠AEO的正切值，由于∠ADC=∠AEO，由此可求出∠ADC的正切值．

解：證明：如圖，

∵是直徑，是的切線，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

∵，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，，

∴，

由切割線定理得：，

∴，

由證得，

∴，

∴，

∴；

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．