Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙M，給出如下定義：若⊙M上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使AB=2PM，則稱(chēng)點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”．

（1）當(dāng)⊙M半徑為2，點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)．

①點(diǎn)P1(﹣2，0)，P2(1，1)，P3(2，2)中，⊙O的“美好點(diǎn)”是　　　　；

②若直線y=2x+b上存在點(diǎn)P為⊙O的“美好點(diǎn)”，求b的取值范圍；

（2）點(diǎn)M為直線y=4上一動(dòng)點(diǎn)，以2為半徑作⊙M，點(diǎn)P為直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P1和P2；②；（2）滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6．

【解析】

（1）①根據(jù)⊙M的“美好點(diǎn)”即可判斷．

②求出直線y＝2x＋b與⊙M相切時(shí)，b的值即可解決問(wèn)題；

（2）當(dāng)直線y＝4與⊙M相切時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，有兩個(gè)值，由此即可解決問(wèn)題．

解：（1）①如圖1中，

∵OP1＝2＝r，OP2＝＜r，OP3＝2＜r，

根據(jù)⊙M的“美好點(diǎn)”的定義可知，P1，P2是⊙M的“美好點(diǎn)”．

故答案為：P1和P2．

②當(dāng)直線y＝2x＋b與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T，該直線交x軸于K，交y軸于E．

由題意E(0，b)，K(－，0)，

∴OE＝b，OK＝，EK＝b．

∵sin∠TKO＝，

∴，

∴b＝2，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)直線與⊙O在下方相切時(shí)，OF＝OE＝2，

∴b＝－2，

∴b的取值范圍為：－2≤b≤2．

（2）如圖2中，

當(dāng)直線y＝4與⊙M相切時(shí)，切點(diǎn)分別為E或E'，連接ME，M'E'．

∵EM＝E'M'＝2，

∴M'(2，2)，m(6，6)，

∴滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6．