【題目】【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為:在△ABC△DEF中,AC=DFBC=EF,∠B=∠E,然后,對∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況:當(dāng)∠B是直角時,△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEFAC=DF,BC=EF∠B=∠E=90°,根據(jù)   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEFAC=DF,BC=EF∠B=∠E,且∠B,∠E都是鈍角,請你證明:△ABC≌△DEF(提示:過點CCG⊥ABAB的延長線于G,過點FFH⊥DEDE的延長線于H).

第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時,△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請你利用圖,在圖中用尺規(guī)作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

【答案】1HL;(2)詳見解析;(3DEFABC不全等,圖見解析.

【解析】試題分析

1)由題意可知,此時得到:Rt△ABC≌Rt△DEF的依據(jù)是“HL”;

2如圖,分別過點CCG⊥ABAB的延長線于點G過點FFH⊥DEDE的延長線于H,然后先用“AAS”證△CBG≌△FEH接著用“HL”證Rt△ACG≌Rt△DFH,最后用“AAS”證△ABC≌△DEF即可

3)在圖3中以點C為圓心,CA為半徑作弧交AB于點D,設(shè)點E和點B重合,點F和點C重合,則圖中的△ABC和△DEF滿足題目中的條件,但很明顯,此時兩個三角形并不全等.

試題解析

1△ABC△DEFAC=DFBC=EF,∠B=∠E=90°,

∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL.

即此時判定兩三角形全等的依據(jù)是HL;

2)如圖,過點CCG⊥ABAB的延長線于G,過點FFH⊥DEDE的延長線于H,

∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC∠DEF都是鈍角,

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF,

∠CBG=∠FEH,

CBGFEH中,

∴△CBG≌△FEHAAS),

∴CG=FH,

RtACGRtDFH中, ,

∴Rt△ACG≌Rt△DFHHL),

∴∠A=∠D,

ABCDEF中, ,

∴△ABC≌△DEFAAS);

3)如圖,△DEF△ABC,AC=DFBC=EF,∠B=∠E滿足了題目中的條件,但很明顯,它們不全等.

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如圖①,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD),把AB、AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是 ;

(2)問題解決:

如圖②,在ABC中,D是BC邊上的中點,DEDF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CFEF;

(3)問題拓展:

如圖③,在四邊形ABCD中,B+D=180°,CB=CD,BCD=140°,以為頂點作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點,連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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