【題目】已知:關(guān)于x的方程

(1)求證:m取任何值時,方程總有實根.

(2)若二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.

a、求二次函數(shù)的解析式

b、已知一次函數(shù),證明:在實數(shù)范圍內(nèi),對于同一x值,這兩個函數(shù)所對應的函數(shù)值均成立.

(3)在(2)的條件下,若二次函數(shù)的象經(jīng)過(-5,0),且在實數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個值,這三個函數(shù)所對應的函數(shù)值均成立,求二次函數(shù)的解析式.

【答案】(1)證明見解析;(2)a、y1=x2-1;b、證明見解析;(3).

【解析】

(1)首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程,所以要分類討論:

m=0,此時方程為一元一次方程,經(jīng)計算可知一定有實數(shù)根;

m≠0,此時方程為二元一次方程,可表示出方程的根的判別式,然后結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)進行證明.

(2)由于拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱,那么拋物線的一次項系數(shù)必為0,可據(jù)此求出m的值,從而確定函數(shù)的解析式;

此題可用作差法求解,令y1-y2,然后綜合運用完全平方式和非負數(shù)的性質(zhì)進行證明.

(3)根據(jù)的結(jié)論,易知y1、y2的交點為(1,0),由于y1≥y3≥y2成立,即三個函數(shù)都交于(1,0),結(jié)合點(-5,0)的坐標,可用a表示出y3的函數(shù)解析式;已知y3≥y2,可用作差法求解,令y=y3-y2,可得到y(tǒng)的表達式,由于y3≥y2,所以y≥0,可據(jù)此求出a的值,即可得到拋物線的解析式.

解:(1)分兩種情況:

當m=0時,原方程可化為3x-3=0,即x=1; m=0時,原方程有實數(shù)根;

當m≠0時,原方程為關(guān)于x的一元二次方程,

∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0,

方程有兩個實數(shù)根;

綜上可知:m取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;

(2)①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱;

3(m-1)=0,即m=1;

拋物線的解析式為:y1=x2-1;

②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,

y1≥y2(當且僅當x=1時,等號成立);

(3)由知,當x=1時,y1=y2=0,即y1、y2的圖象都經(jīng)過(1,0);

對應x的同一個值,y1≥y3≥y2成立,

y3=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過(1,0),

y3=ax2+bx+c經(jīng)過(-5,0),

y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a;

設(shè)y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a);

對于x的同一個值,這三個函數(shù)對應的函數(shù)值y1≥y3≥y2成立,

y3-y2≥0,

y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;

根據(jù)y1、y2的圖象知:a>0,

y最小=≥0

(4a-2)2-4a(2-5a)≤0, (3a-1)2≤0,

而(3a-1)2≥0,只有3a-1=0,解得a= ,

拋物線的解析式為:

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