Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GFE=∠FEC，

∵圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，EF為折線，

∴∠GEF=∠FEC，

∴∠GFE=∠FEG，

∴GF=GE，

∵圖形翻折后BC與GE完全重合，

∴BE=EC，

∴GF=EC，

∴四邊形CEGF為平行四邊形，

∴四邊形CEGF為菱形

（2）

解：如圖1

，

當(dāng)F與D重合時(shí)，CE取最小值，

由折疊的性質(zhì)得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠DEC=45°=∠CDE，

∴CE=CD=DG，

∵DG∥CE，

∴四邊形CEGD是矩形，

∴CE=CD=AB=3；

如圖2

，

當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，

由折疊的性質(zhì)得AE=CE，

∵∠B=90°，

∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，

∴CE=5，

∴線段CE的取值范圍3≤CE≤5．

【解析】（1）由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四邊形CEGF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；（2）如圖1，當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四邊形CEGD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到CE=CD=AB=3；如圖2，當(dāng)F與D重合時(shí)，CE取最小值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．本題考查了翻折變換﹣折疊問題，菱形的判定，線段的最值問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．