Question

如圖，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q．
求證：PQ²=AM•BN．

Answer 1

【答案】分析：連接AP，BP欲證題中結(jié)論，只需證，而要證此式，必須借助于第三個(gè)比即中間比．由△PAM∽△BPQ可得，再由△PBN∽△APQ可得，進(jìn)而證明PQ²=AM•BN．
解答：證明：連接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴，
同理可得：，
∴，
∴PQ²=AM•BN．
點(diǎn)評：本題考查了和圓有關(guān)的比例線段的證明題，可由所要證的比例式找到相似三角形；當(dāng)要證明的比例式不能直接應(yīng)用有關(guān)定理和相似三角形來證明時(shí)，可以考慮等量代換．等量代換通常有等線段代換、等比代換等．