Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AP，EF，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③PD=EC;④△APD一定是等腰三角形．

其中正確的結(jié)論有( )．

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】由四邊形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=45°，作PH⊥AB于H，可以得出四邊形BEPH為正方形，可以得出AH=CE，由條件可以得出四邊形PECF是矩形，就有CE=PF，利用三角形全等可以得出AP=EF，∠PFE=∠BAP，由勾股定理可以得出PD=PF，可以得出PD=EC，點(diǎn)P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP=AD、PA=PD或DA=DP時(shí)才成立，故可以得出答案．

作PH⊥AB于H，

∴∠PHB=90°，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，

∴四邊形BEPH和四邊形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，

∴四邊形BEPH為正方形，

∴BH=BE=PE=HP，

∴AH=CE，

∴△AHP≌△FPE，

∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，

故①、②正確，

在Rt△PDF中，由勾股定理，得

PD=PF，

∴PD=CE．

故③正確．

∵點(diǎn)P在BD上，

∴當(dāng)AP=AD、PA=PD或DA=DP時(shí)△APD是等腰三角形．

∴△APD是等腰三角形只有三種情況．

故④錯(cuò)誤，

∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．

故選C．