Question

【題目】如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點到點E，使，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接．

求證：；

正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形，如圖2．

在旋轉(zhuǎn)過程中，當是直角時，求的度數(shù)；

若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求長的最大值和此時的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；

【答題空27-1】

【答題空27-2】

【解析】分析：（1）延長ED交AG于點H，證明≌，根據(jù)等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到，分兩種情況求出的度數(shù)；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出OA和OF的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF′長的最大值和此時的度數(shù)．

詳解：如圖1，延長ED交AG于點H，

點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

即；

在旋轉(zhuǎn)過程中，成為直角有兩種情況：

Ⅰ由增大到過程中，當時，

，

在中，sin∠AGO=，

，

，

，

，

即；

Ⅱ由增大到過程中，當時，

同理可求，

．

綜上所述，當時，或．

如圖3，

當旋轉(zhuǎn)到A、O、在一條直線上時，的長最大，

正方形ABCD的邊長為1，

，

，

，

，

，

，

此時．