已知關(guān)于x的一元二次方程5x2－2px＋5q＝0（p≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

求證：(1)方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，若｜x1｜＜｜x2｜，則＝．

 

答案：
解析：

∵方程5x2－2px＋5q＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，

Δ1＝（－2p）2－4×5×5q＝0，

整理，得q＝p2．

(1)方程x2＋px＋q＝0的判別式

Δ2＝p2－4q＝p2－p2＝p2，

∵p≠0，∴Δ2＞0．∴方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

(2)證法一：解方程x2＋px＋q＝0，得

x＝（不妨設(shè)p>0）．

∵｜x1｜＜｜x2｜，∴x1＝－p，x2＝－p，

∴．

證法二：∵x1＋x2＝－p，x1x2＝q，

由(1)知q＝p2，∴x1x2＝（x1＋x2）2，

即6x12－13x1x2＋6x22＝0．

∵p≠0，∴q≠0，∴x2≠0．

∴6（）2－13（）＋6＝0．

解得 ＝或＝．

∵｜x1｜＜｜x2｜，∴｜｜＜1 

∴＝．

 


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