Question

在⊙O中，弦AB將圓分成了1：4兩部分，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C，則∠C=___________。

Answer 1

108°

根據(jù)切線的判定定理得出AB與⊙D相切于E點(diǎn)，進(jìn)而得出⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，根據(jù)弦AB將圓分成了1：4兩部分，得出∠AOB=72°，以及∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)．
解：連接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，
∴AB與⊙D相切于E點(diǎn)，又∵過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線，
∴⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，
∵弦AB將圓分成了1：4兩部分，
∴∠AOB=72°，可得：∠MOB=36°，
∴∠ADB=144°，
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB=180°，
∴∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，
∴∠CAB+∠CBA=72°，
∴∠ACB的度數(shù)為：180°-72°=108°，
故答案為：108°．
此題主要考查了三角形內(nèi)切圓性質(zhì)與圓周角定理和垂徑定理等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，得出∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．