如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點(diǎn)O,且AC=80,BD=60.動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā),分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí),M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求菱形ABCD的周長;

(2)記△DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式,并求S的最大值;

(3)當(dāng)t=30秒時(shí),在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)?并求出點(diǎn)P到線段OD的距離;若不存在,請說明理由.


【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì),求出菱形的周長;

(2)在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中:①當(dāng)0<t≤40時(shí),如答圖1所示,②當(dāng)40<t≤50時(shí),如答圖2所示.分別求出S的關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;

(3)如答圖3所示,在Rt△PKD中,DK長可求出,則只有求出tan∠DPK即可.為此,在△ODM中,作輔助線,構(gòu)造Rt△OND,作∠NOD平分線OG,則∠GOF=∠DPK.在Rt△OGF中,求出tan∠GOF的值,從而問題解決.解答中提供另外一種解法,請參考.

【解答】解:(1)在菱形ABCD中,

∵AC⊥BD

∴AD==50.

∴菱形ABCD的周長為200.

(2)過點(diǎn)M作MP⊥AD,垂足為點(diǎn)P.

①當(dāng)0<t≤40時(shí),如答圖1,

∵sin∠OAD===,

∴MP=AM•sin∠OAD=t.

S=DN•MP=×t×t=t2

②當(dāng)40<t≤50時(shí),如答圖2,MD=70﹣t,

∵sin∠ADO===,∴MP=(70﹣t).

∴SDMN=DN•MP=×t×(70﹣t)=t2+28t=(t﹣35)2+490.

∴S=

當(dāng)0<t≤40時(shí),S隨t的增大而增大,當(dāng)t=40時(shí),最大值為480.

當(dāng)40<t≤50時(shí),S隨t的增大而減小,當(dāng)t=40時(shí),最大值為480.

綜上所述,S的最大值為480.

(3)存在2個(gè)點(diǎn)P,使得∠DPO=∠DON.

方法一:如答圖3所示,過點(diǎn)N作NF⊥OD于點(diǎn)F,

則NF=ND•sin∠ODA=30×=24,DF=ND•cos∠ODA=30×=18.

∴OF=12,∴tan∠NOD===2.

作∠NOD的平分線交NF于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH⊥ON于點(diǎn)H,則FG=GH.

∴SONF=OF•NF=SOGF+SOGN=OF•FG+ON•GH=(OF+ON)•FG.

∴FG===,

∴tan∠GOF===

設(shè)OD中垂線與OD的交點(diǎn)為K,由對稱性可知:∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG

∴tan∠DPK===

∴PK=

根據(jù)菱形的對稱性可知,在線段OD的下方存在與點(diǎn)P關(guān)于OD軸對稱的點(diǎn)P′.

∴存在兩個(gè)點(diǎn)P到OD的距離都是

方法二:答圖4所示,作ON的垂直平分線,交OD的垂直平分線EF于點(diǎn)I,連結(jié)OI,IN.

過點(diǎn)N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分別為G,H.

當(dāng)t=30時(shí),DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,

,即

∴NG=24,DG=18.

∵EF垂直平分OD,

∴OE=ED=15,EG=NH=3.

設(shè)OI=R,EI=x,則

在Rt△OEI中,有R2=152+x2        ①

在Rt△NIH中,有R2=32+(24﹣x)2     ②

由①、②可得:

∴PE=PI+IE=

根據(jù)對稱性可得,在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件.

∴存在兩個(gè)點(diǎn)P,到OD的距離都是

(注:只求出一個(gè)點(diǎn)P并計(jì)算正確的扣.)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn),涉及考點(diǎn)較多,有一定的難度.第(2)問中,動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí),是兩種不同的情形,需要分類討論;第(3)問中,滿足條件的點(diǎn)有2個(gè),注意不要漏解.

 

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(1)求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(2)是否存在點(diǎn)P,使得以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似?若存在,求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)若拋物線的頂點(diǎn)為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

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已知x為實(shí)數(shù),且﹣(x2+x)=2,則x2+x的值為(  )

A.0       B.1       C.2       D.x2

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2015年十一國慶長假提前到9月29日,黃金周期間外出旅游更為火爆,若旅游區(qū)的門票為60元/張,某旅游區(qū)的開放時(shí)間為每天10小時(shí),并每小時(shí)對進(jìn)入旅游區(qū)的游客人數(shù)進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì),下表是9月30日對進(jìn)入旅游區(qū)人數(shù)的7次抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

記數(shù)的次數(shù)

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

第7次

每小時(shí)進(jìn)入旅游區(qū)的人數(shù)

318

310

310

286

280

312

284

那么從9月29日至10月5日旅游區(qū)門票收入是多少?(  )

A.900000元 B.129600元 C.191600元 D.162000元

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如圖,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CF∥AB,交DE的延長線于點(diǎn)F.求證:AB=CF+BD.

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分解因式:﹣x2y+6y2x﹣9y3= 

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計(jì)算:﹣2cos60°+(2﹣π)0

 

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下列選項(xiàng)中的四邊形只有一個(gè)為平行四邊形,根據(jù)圖中所給的邊長長度及角度,判斷哪一個(gè)為平行四邊形?( 。

A.      B.      C.       D.

 

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