Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，其對稱軸與軸交于點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）連接，，，試判斷的形狀，并說明理由；

（3）點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，的面積記為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）在線段上，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；（4），，.

【解析】

（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a（x+3）（x-1）=a（x2+2x-3），則-3a=-3，解得：a=1，即可求解；
（2）由AD2=AC2+CD2，故△ADC為直角三角形；
（3）.，即可求解；
（4）分AE=EF、AE=AF、AF=EF三種情況分別求解即可．

（1）設(shè)，

∵，，，

∴，

∴，

∴二次函數(shù)解析式為：.

（2）為直角三角形，理由：

由（1）可知，

過點(diǎn)作軸于，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，，

∴，且，

∴為直角三角形.

（3）設(shè)直線解析式為：，

∵，，

∴，

∴，，

∴.

過點(diǎn)作軸的垂線交于，設(shè)，

則.

∵點(diǎn)在第三象限，

∴

，

∴

.

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí).

（4），，.理由如下：

∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，
①當(dāng)AE=EF時(shí)，如下圖，

△AEF為等腰直角三角形，AE=2=EF，
∴點(diǎn)F（-1，2）；
②當(dāng)AE=AF時(shí)，
同理可得：點(diǎn)F（-3，-）；
③當(dāng)AF=EF時(shí)，
同理可得：點(diǎn)F（-2，-1）；
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：，，.