Question

（本題滿分9分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙C經(jīng)過點O，交x軸的正半軸于點B (2，0)，P是上的一個動點，且∠OPB＝30°.設P點坐標為(m，n)．

(1)當n＝2，求m的值；

(2)設圖中陰影部分的面積為S，求S與n之間的函數(shù)關系式，并求S的最大值；

(3)試探索動點P在運動過程中，是否存在整點P(m，n)（橫、縱坐標都為整數(shù)的點叫整點）?若存在，請求出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)、m=0或2；(2)、S=n+，最大值為：2+；(3)、不存在.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)角度的關系得出△OCB為等邊三角形，從而求出OD和CD的長度，然后根據(jù)圓的軸對稱性求出m的值；(2)、陰影部分的面積等于三角形的面積加上扇弧的面積；(3)、根據(jù)題意求出m的值，然后分別計算出n的值，看是否有符合條件的.

試題解析：

(1)、過點C作CD⊥OB

∵∠OPB=30° ∴∠OCB=60° ∴△OCB為等邊三角形 ∴OC=OB=2

∴OD=1，CD= ∴當n=2時，根據(jù)圓的對稱性 得m=0或2.

、S=×2n+(－)=n+－

∴當n=2+時，S最大值為2+.

、動點P在運動過程中，不存在整點.

∵－1≤m≤3，橫坐標可取整數(shù)為－1,0,1,2,3

當m=－1,3時，n= 當m=0,2時，n=2 當m=1時，n=2+

以上對應的縱坐標n均不是整數(shù) ∴動點P在弧OwB運動過程中，不存在整點.

考點：圓的基本性質(zhì).