Question

如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以D為圓心似長為半徑作

圓O、C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b，

（1）求證：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是關(guān)于x的方程：x+ax=b+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=2a，CE=a，即可得到結(jié)果；(2) ；（3）或

【解析】

試題分析：（1）連接BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=2a，CE=a，即可得到結(jié)果；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2即可得到結(jié)果；

（3）由x+ax=b+ab可求得x=b或x=-(b+a)，分a=m=b與m=-(b+a)兩種情況分析即可.

（1）連接BE

∵△ABC為等邊三角形

∴∠AOB=60°

∴∠AEB=30°

∵AB為直徑

∴∠ACB=∠BCE=90°

∵BC=a

∴BE=2a

CE=a

∵AC=b     

∴AE=b+a；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H

在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1

∴a²+b²=1

∴(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2

∴a+b≤，故a+b的最大值為；

（3）x+ax=b+ab

∴x-b+ax-ab=0  

(x+b)(x-b)+ a(x-b)=0

(x-b)(x+b+a)=0

∴x=b或x=-(b+a)

當(dāng)a=m=b時(shí)，m=b=AC<AB=1

∴0<m<1 

當(dāng)m=-(b+a)時(shí)，由（1）知AE=-m

又AB<AE≤2AO=2

∴1<-m≤2

∴-2≤m<-1

∴m的取值范圍為或.

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考?jí)狠S題，需要特別注意.