Question

已知四邊形ABCD，AD∥BC，連接BD．

(1)小明說：“若添加條件BD²＝BC²＋CD²，則四邊形ABCD是矩形．”你認為小明的說法是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請舉出一個反例說明．

(2)若BD平分∠ABC，∠DBC＝∠BDC，tan∠DBC＝1，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

 (1)解： 不正確.                      

  如圖作(直角)梯形ABCD，            

  使得AD∥BC，∠C＝90°.                                         

  連結BD，則有BD²＝BC²＋CD².        

  而四邊形ABCD是直角梯形不是矩形.    

 

(2)證明：如圖，

 

 ∵ tan∠DBC＝1，

  ∴ ∠DBC＝45°.                       

  ∵ ∠DBC＝∠BDC，

  ∴ ∠BDC＝45°.

  且BC＝DC.                           

  法1： ∵ BD平分∠ABC，

  ∴ ∠ABD＝45°，∴ ∠ABD＝∠BDC.

  ∴ AB∥DC.

  ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.                                   

  又∵ ∠ABC＝45°＋45°＝90°，

  ∴ 四邊形ABCD是矩形.                                           

  ∵ BC＝DC，

  ∴ 四邊形ABCD是正方形.                                       

  法2：∵ BD平分∠ABC，  ∠BDC＝45°，∴∠ABC＝90°.

  ∵ ∠DBC＝∠BDC＝45°，∴∠BCD＝90°.

  ∵ AD∥BC，

  ∴ ∠ADC＝90°.                                             

  ∴ 四邊形ABCD是矩形.                                        

  又∵ BC＝DC

  ∴ 四邊形ABCD是正方形.                                        

  法3：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝45°. ∴ ∠BDC＝∠ABD.

 ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC.

 ∵ BD＝BD，

 ∴ △ADB≌△CBD.

 ∴ AD＝BC＝DC＝AB.                                            

  ∴ 四邊形ABCD是菱形.                                      

  又∵∠ABC＝45°＋45°＝90°，

  ∴ 四邊形ABCD是正方形.