Question

【題目】如圖1，已知：直線y=x﹣3分別交x軸于A，交y軸于B，拋物線C1：y=x2+4x+b的頂點(diǎn)D在直線AB上．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）如圖2，將拋物線C1的頂點(diǎn)沿射線DA的方向平移得拋物線C2 ， 拋物線C2交y軸于C，頂點(diǎn)為E，若CE⊥AB，求拋物線C2的解析式；
（3）如圖3，將直線AB沿y軸正方向平移t（t＞0）個(gè)單位得直線l，拋物線C1的頂點(diǎn)在直線AB上平移得拋物線C3 ， 直線l和拋物線C3相交于P、Q，求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=3？

Answer 1

【答案】解：（1）由y=x2+4x+b=（x+2）2﹣4+b，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣2，﹣4+b），
代入y=x﹣3得：﹣4+b=×（﹣2）﹣3，
解得：b=0，
∴拋物線C1的解析式為：y=x2+4x；
（2）∵拋物線C1的頂點(diǎn)沿射線DA的方向平移得拋物線C2 ，
∴拋物線C1的向右平移a個(gè)單位的同時(shí)向上平移a個(gè)單位，
∵y=x2+4x=（x+2）2﹣4，
∴拋物線C2的解析式為：y=（x+2﹣a）2﹣4+，
∴E（﹣2+a，﹣4+），
令x=0，則y=a2﹣a，
∵CE⊥AB，
∴直線CE的斜率為﹣2，
∴直線CE為：y=﹣2x+a2﹣a，
∴﹣4+=﹣2（﹣2+a）+a2﹣a，
解得：a=2（舍去），a=4，
∴拋物線C2的解析式為：y=（x﹣2）2﹣2；
（3）∵PQ的長與C3移動(dòng)到的位置無關(guān)，
∴當(dāng)拋物線C3的頂點(diǎn)在y軸時(shí)，拋物線的解析式為：y=x2﹣3，
∵直線AB沿y軸正方向平移t（t＞0）個(gè)單位得直線l，
∴直線l的解析式為：y=x﹣3+t，
解，得：x1=，x2=，
∵x1﹣x2=，
∴PQ2=（）2+（）2=，
∵PQ=3，
∴PQ2=45，
∴=45，
解得t=，
∴當(dāng)t=時(shí)，P、Q之間的距離為3．
【解析】（1）根據(jù)拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)代入，直線的解析式即可求得b的值進(jìn)而求得拋物線C1的解析式；
（2）先得出拋物線C2的解析式為：y=（x+2﹣a）2﹣4+ ， 求得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，令x=0，求得y=a2﹣a，由于CE⊥AB，所以直線CE的斜率為﹣2，進(jìn)而求得直線CE為：y=﹣2x+a2﹣a，把頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得a的值，從而求得拋物線C2的解析式；
（3）PQ的長與C3移動(dòng)到的位置無關(guān)，當(dāng)拋物線C3的頂點(diǎn)在y軸時(shí)，拋物線的解析式為：y=x2﹣3，先求得直線l的解析式，然后與拋物線y=x2﹣3組成方程組，解方程組即可求得P、Q的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率求得縱坐標(biāo)的差等于橫坐標(biāo)差的一半，根據(jù)勾股定理即可求得PQ2 ， 與已知條件PQ=3列出等式即可求得t的值；