Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M．

（1）求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的解析式；
（2）試判斷直線(xiàn)CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使得S△BCN=4？如果存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；

由射影定理，得：OC2=OAOB=4，則OC=2，即點(diǎn)C（0，2）；

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+1）（x﹣4），將C點(diǎn)代入上式，得：

2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣ ，

∴拋物線(xiàn)的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：直線(xiàn)CM與以AB為直徑的圓相切．理由如下：

如右圖，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為D，連接CD．

由于A、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD= AB．

由（1）知：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

則點(diǎn)M（ ， ），ME= ﹣2= ；

而CE=OD= ，OC=2；

∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△CEM，

∴∠CME=∠CDO，

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，

而CD等于⊙D的半徑長(zhǎng)，所以直線(xiàn)CM與以AB為直徑的圓相切

（3）

解：由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2 ；

則：S△BCN= BCh= ×2 ×h=4，h= ；

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC，且使BF=h= ，過(guò)F作直線(xiàn)l∥BC交x軸于G．

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO= ，BG=BF÷sin∠BGF= ÷ =4；

∴G（0，0）或（8，0）．

易知直線(xiàn)BC：y=﹣ x+2，則可設(shè)直線(xiàn)l：y=﹣ x+b，代入G點(diǎn)坐標(biāo)，得：b=0或b=4，則：

直線(xiàn)l：y=﹣ x或y=﹣ x+4；

聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式后，可得：

或 ，

則 N1（2+2 ，﹣1﹣ ）、N2（2﹣2 ，﹣1+ ）、N3（2，3）．

【解析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的長(zhǎng)，即可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法能求出該拋物線(xiàn)的解析式．（2）此題的解法有兩種：①過(guò)AB的中點(diǎn)作直線(xiàn)CM的垂線(xiàn)，比較該垂線(xiàn)段與AB的一半（半徑）的大小關(guān)系，若兩者相等，則直線(xiàn)CM與AB為直徑的圓相切；若該垂線(xiàn)段小于半徑長(zhǎng)，則兩者的位置關(guān)系為相交；若該垂線(xiàn)段大于半徑長(zhǎng)，則兩者的位置關(guān)系為相離；②連接AB中點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)D）和點(diǎn)C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知：CD為⊙D的半徑長(zhǎng)，那么只需判斷CD是否與CM垂直即可，若垂直，則直線(xiàn)CM與⊙D相切；若不垂直，則相交．（3）先求出線(xiàn)段BC的長(zhǎng)，根據(jù)△BCN的面積，可求出BC邊上的高，那么做直線(xiàn)l，且直線(xiàn)l與直線(xiàn)BC的長(zhǎng)度正好等于BC邊上的高，那么直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為符合條件的N點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�