Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；
（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q．
①當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)CE=1時，寫出AP的長．（不必寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)∠BPC=∠A時，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長．
（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．
②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．

解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

PD

，即：

AP

2

=

2

5-AP

解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，即：

x

2+y

=

2

5-x

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2（1＜x＜4）．  
②當(dāng)CE=1時，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴

CE

PD

=

CQ

DQ

，

1

5-x

=

y

y+2

或

1

5+x

=

y

y-2

，
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
解得：AP=2或3-

5

（舍去）．

點評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．