Question

如圖1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P為CE的中點(diǎn)，連接AP、DP．若α=120°，探究線段AP、DP的關(guān)系．
說明：如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，可以更改條件將“α=120°”改為“α=90°”，選取圖2完成證明得10分．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，即可得出△AGB∽△BHD，進(jìn)而得出四邊形GPHB為平行四邊形，再得出△DHP∽△PGA，得出線段AP、DP的關(guān)系．

解答：解：AP⊥DP，

3

AP=DP．
分別取BC、BE的中點(diǎn)G、H，連接AG、PG、DH、PH，
∵AB=AC，∴∠AGB=90°，
又∵α=120°，
∴∠GAB=

1

2

α=60°，∠ABG=30°，BG=

3

AG，
∵∠CAB+∠BDE=180°，∴∠BDE=60°，
同理可得∠DHB=90°，∠1=30°，
∴∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，
∴△AGB∽△BHD，
∴

DH

BG

=

BH

AG

，
∵P為CE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，
∴PH∥BG，PH=

1

2

BC=BG，
∴四邊形GPHB為平行四邊形，
∴BH=PG，∠2=∠3，
∴

DH

PH

=

PG

AG

，即

DH

PG

=

PH

AG

，∠DHP=∠PGA，
∴△DHP∽△PGA，
∴∠4=∠5，

PD

PA

=

PH

AG

=

BG

AG

=

3

，
∠6=∠5+90°=∠4+∠APD，
∴∠APD=90°，
即AP⊥DP，

3

AP=DP．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定和平行四邊形的判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．