Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)、當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)立刻停止運(yùn)動(dòng)，
（1）當(dāng)△PBQ的面積為9cm²時(shí)，PQ的距離是多少cm？
（2）幾秒鐘后PQ的長(zhǎng)度是AC長(zhǎng)度的一半？
（3）寫(xiě)出PQ長(zhǎng)度的取值范圍．（以上結(jié)果均用最簡(jiǎn)二次根式表示）

Answer 1

分析：由于線段BP與線段BQ是隨著時(shí)間以一次函數(shù)增加，故可以考慮PQ的長(zhǎng)度和△BPQ的面積都用BP與BQ表示
即：S三角形BPQ=

1

2

BP×BQ
利用勾股定理：
有：PQ²=BP²+BQ²
即：PQ=

BP2+BQ2

列出△BPQ及PQ關(guān)于時(shí)間的函數(shù)進(jìn)行求解．

解答：解：設(shè)時(shí)間為t秒
∴BP=t （0≤t≤5）
BQ=2t （0≤t≤6）
∴①S三角形BPQ=

1

2

BP×BQ
=

1

2

×t×2t
=t²
其中0≤t≤5
②PQ²=BP²+BQ²
=（t）²+（2t）²
=5t²
其中0≤t≤5
（1）當(dāng)S_{三角開(kāi)BPQ}=9時(shí)
即：t²=9
∴t=3
∴PQ=

5

t=3

5

（2）AC=

AB2+BC2

=

52+122

=13
PQ=

1

2

AC
即：

5

t=

1

2

×13
∴t=

13 5

10

（3）∵PQ=

5

t隨著時(shí)間增加而增大
∴①當(dāng)t=0時(shí)，PQ最小為0．
②當(dāng)t=5時(shí)，PQ最大為5

5

即0≤PQ≤5

5

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用函數(shù)的思想，找出△BPQ面積及PQ長(zhǎng)度隨時(shí)間t的變化關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)列出表達(dá)式代入數(shù)值進(jìn)行求解